达布中值定理

达布中值定理的达布中值定理的证明

方法1：已知f'(a)g(b)（反过来一样），又g'(b)>0所以由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)a,使得g(x)<g(a),即x=a不是函数g(x)在[a,b]上的最小值，同理x=b也不是函数g(x)在[a,b]上的最小值，故g(x)在(a，b)区间内取得最小值，所以必然存在ξ∈（a,b），使g'(ξ)=f'(ξ)-η=0（费马定理），所以对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.证毕　　（其推广的证明提示：令G(x)=f(x)-ηg(x)）

达布中值定理的达布中值定理

　　达布中值定理(Darboux)的数学表达形式：设y=f(x)在(A,B)区间中可导.又设[a,b]包含于(A,B),且f'(a)<f'(b),则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.
　　达布中值定理(Darboux)的数学表达形式：设y=f(x)在(A,B)区间中可导.又设[a,b]包含于(A,B),且f'(a)<f'(b),则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.
　　达布中值定理(Darboux)的其它表达形式：若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.
　　达布中值定理（Darboux）的等价形式：设 f(x)在 [a,b]上可微，若在 [a,b]上f′(x)不等于0 ，则f′(x) 在[a,b] 上保持定号(恒正或恒负).

　　达布中值定理的证明
　　方法1：已知f'(a)g(b)（反过来一样），又g'(b)>0所以由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)，由介值定理存在ζ∈（a,ξ）使g(ζ)=g(b)，又由罗尔中值定理，存在δ∈（ζ,b)使g'(δ)=0。所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。证毕
　　方法2：构造函数g(x)=f(x)-ηx，由于f(x)在(a,b)区间内可导，所以f(x)在(a,b)区间内连续，由此得出g(x)在(a,b)区间内连续。补充定义使得g(x)在x=a，x=b处连续，因为g'(a)=f'(a)-ηa,使得g(x)<g(a),即x=a不是函数g(x)在[a,b]上的最小值，同理x=b也不是函数g(x)在[a,b]上的最小值，故g(x)在(a，b)区间内取得最小值，所以必然存在ξ∈（a,b），使g'(ξ)=f'(ξ)-η=0（费马定理），所以对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.证毕