圆锥曲线解题技巧
在《圆锥曲线》中，阿波罗尼总结了前人(柏拉图学派 的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线)的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。 圆锥曲线解题技巧 一、化为二次函数，求二次函数的最值 依据条件求出用一个参数表示的二次函数解析式，而自变量都有一定的变化范围，然后用配方法求出限制条件下函数的最值，就可得到问题的解。 例1：曲边梯形由曲线及直线，x=1，x=2所围成，试问通过曲线，上的哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。 分析：先求出适合条件的一条切线方程，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式，再求最值。 大面积的普通梯形。 说明：如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的'特点分类讨论。 二、利用圆锥曲线性质求最值 有些问题先利用圆锥曲线的定义或性质给出关系式，再利用几何或代数方法求最值，可使题目中的数量关系更直观，解题方法更简洁。 例2：已知双曲线的右焦点为F，点A(9，2)。试在双曲线上求一点M，使的值最小，并求这个最小值。 分析：由条件得，与互为倒数，设d为点M到对应准线的距离，可得，把问题转化为求的最小值，点M为过A点垂直于准线的直线与双曲线的交点。 说明：利用圆锥曲线的性质求最值是一种特殊方法，在利用时技巧性较强，但是可以避繁就简，化难为易，使思路清晰，过程简捷。 三、化为一元二次方程，利用判别式求最值 如果能把圆锥曲线的最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用，解得要求未知量的范围，然后确定其最值。 例3：直线，椭圆C：。求以椭圆C的焦点F1、F2为焦点，且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的。 分析：因为直线l与所求椭圆有公共点，可以由方程组得到一个一元二次方程，再利用判别式确定所求椭圆长轴的最小值。 解：椭圆C的焦点。 说明：直线l与椭圆有公共点，可得方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，由一元二次方程有实根的条件得，构造参变量的不等式，确定的最小值，这种解法思路清晰、自然。 四、利用不等式求最值 列出最值满足的关系式，利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。 例4：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，M是线段AB的中点，求M到 y轴的最短距离。 说明：用不等式求最值有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧，要在训练过程中逐渐掌握。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件：①每一项都要取正值;②不等式的一边为常数;③等号能够成立。 五、利用函数的性质求最值 有些圆锥曲线的最值问题，可以先转化成函数问题，然后利用函数的单调性、有界性等性质求最值。 说明：本题把求圆锥曲线最值问题转化为求三角函数的最值问题，然后利用的有界性得出结果。 六、利用平面几何的有关知识求最值 有些圆锥曲线求最值问题可以转化为平面几何问题，借助一些平面几何知识求最值。 例6：已知椭圆，点A(4，0)是它的右焦点，B(2，2)是椭圆内一点，M是椭圆上一动点，求的最大值和最小值。 说明：有些圆锥曲线求最值问题，如果用代数方法求解比较复杂，可以考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。 圆锥曲线最值问题从方程与曲线着手，反映了数学问题中的数与形的密切关系，这类问题涉及的数学知识较多，解题方法灵活。因此，求圆锥曲线最值问题能促进数学知识的融会贯通，也能使数学能力得到全面训练。
圆锥曲线题型归纳及解题技巧
圆锥曲线题型归纳及解题技巧如下：1.直线与圆锥曲线位置关系。这类问题主要采用分析判别式，有△>0，直线与圆锥曲线相交；Δ=0，直线与圆锥曲线相切；△<0，直线与圆锥曲线相离，若且a=0，b≠o，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点，注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。2.圆锥曲线与向量结合问题。这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。3.定点、定值问题。定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算。直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。4.最值、参数范围问题。这类常见的解法有两种：几何法和代数法。若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围。利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系。利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围。利用基本不等式求出参数的取值范围。利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围。圆锥曲线与定点：圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆。 定点叫做该圆锥曲线的焦点，定直线叫做（该焦点相应的）准线，e叫做离心率。
数学圆锥曲线解题技巧
【数学圆锥曲线解题技巧】 1.客观题部分 例1 (新课标2·2015)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )。 A。5 B。2 C。3 D。2 解析 该题的核心知识点有两个：等腰三角形的性质;双曲线的标准方程和性质。①将双曲线方程设定为x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，如图;②因为AB=BM，∠ABM=120°，过点M作MN垂直于X轴，垂足为N，在Rt△BMN中，求得BN=a，MN=3a，M点的坐标为(2a，3a)，③根据双曲线方程、c2=a2+b2以及离心率e=ca(e>1)，可以求的c2=2a2，e=2，因此本题选D。本题涉及的基本思想方法是待定系数法。 2.主观题部分 首先，是数形结合的思想方法，这种思想方法特点在于将圆锥曲线从平面的角度视为一种运动中的轨迹，在此背景下，题目的考核目标往往是与轨迹相关的边缘域问题、定值问题、最值问题等。 例2 (山东·2015)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24a2+y24b2=1(a>b>0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1和F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。 (Ⅰ)求椭圆C的方程。 (Ⅱ)设椭圆E;x24a2+y24b2=1，p为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A和B两点，射线PO交椭圆E于点Q。 (ⅰ)求OQOP的值。 (ⅱ)求△ABQ面积的最大值。 解析 本题的核心知识点有：椭圆的定义;韦达定理与最值问题;椭圆与直线的位置关系问题。①根据椭圆的定义2a是定值，以及e=32，结合椭圆的标准方程求的a=2，b=1，因此椭圆的方程为C：x24+y2=1。②根据题意，设OQOP=λ，P(x0，y0)，则Q(-λx0，-λy0)。又x24a2+y24b2=1，所以将P和Q带入方程解得，λ=2，所以OQOP=2。③根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)。将y=kx+m带入方程x216+y24=1得到(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0，根据韦达定理，由Δ>0，m2<4+16k2(Ⅰ);x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，x1-x2=416k2+4-m21+4k2。因为直线y=kx+m与轴焦点的坐标为(0，m)，所以△ABO的面积为S=12mx1-x2=24-m21+4k2m21+4k2，令m21+4k2=t，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2(Ⅱ)。由(Ⅰ)和(Ⅱ)可得，0 与数形结合的思想方法相适应的题目类型有：圆锥曲线通过构造出的三角形关系，与直线、韦达定理、函数的最值问题等建立起逻辑关联，依靠代数法或几何法解题，其中涉及例如联立方程法、整体消元法等解题技巧，强化计算能力，助力高考。 其次，是化归、分类讨论以及函数与方程的思想方法，将这几种思想方法综合起来看，它主要强调考生通过建立起圆锥曲线与方程之间的关联，在简化思想模型的基础上，进行有效地推理与论证。建立在数形结合的基础上，分类锁定知识背景中的相关考点，化归简化思想路径，最终用代数转方程来表达圆锥曲线与关联对象之间的相互关系(例题略)。 总 结 在对圆锥曲线问题的解答中，需要考生灵活运用相关知识，综合性的考虑各种可行性方案与可能的因素，配合一定的解题技巧和计算能力给出答案。 【圆锥曲线公式大全】 1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质 2、判断椭圆是 x型还是y型只要看x对应的分母大还是y2对应的分母大，若x对应的分母大则x型，若y2对应的分母大则y型.x2y2 3、求椭圆方程一般先判定椭圆是x型还是y型，若为x型则可设为2?2?1，若为yaby2x222 型则可设为2?2?1，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：mx?ny?1ab 4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质 2、判断双曲线是 x型还是y型只要看x前的符号是正还是y前的符号是正，若x前的符号为正则x型，若y前的符号为正则y型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为a22x2y2 3、求双曲线方程一般先判定双曲线是x型还是y型，若为x型则可设为2?2?1，若aby2x2 为y型则可设为2?2?1，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：abmx2?ny2?1(mn?0) 6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y?mx，则可设双曲线方程为y2?m2x2??(??0)，而后把点坐标代入求解 7、椭圆、双曲线、抛物线与直线l:y?kx?b的弦长公式：AB?? 8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法 9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤： (1)假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y或x (2)求出判别式，并设点使用伟大定理 (3)使用弦长公式 1、抛物线的定义：平面内有一定点F及一定直线l (F不在l上)P点是该平面内一动点，当且仅当点P到F的距离与点P到直线l距离相等时，那么P的轨迹是以F为焦点，l为准线的一条抛物线.————见距离想定义!!! 2、(1)抛物线标准方程左边一定是x或y的平方(系数为1)，右边一定是关于x和y的一次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程! (2)抛物线的一次项为x即为x型，一次项为y即为y型! (3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数!一次项为x，则准线为”x=多少”， 一次项为y，则准线为”y=多少”! (4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴! (5)抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相! 23、求抛物线方程，如果只知x型，则设它为y?ax (a?0),a>o,开口朝右;ao,开口朝上;a<0,开口朝下。 4、抛物线简单的几何性质： (尤其对称性的性质要认真研究应用，经常由线对称挖掘出点对称，从而推出垂直平分等潜在条件!) 1、 抛物线的焦点弦，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，且P,Q为抛物线y2?2px经过焦点的一条弦：p2 (1)P(x1,y1),Q(x2,y2)两点坐标的关系：y1y2??p,x1x2? 42 (2)焦点弦长公式：PQ?(x1?x2)?p=2p(其中?为直线PQ的倾斜角大小) 2sin? (3)垂直于对称轴的焦点弦称为是通径，通径长为2p 5、(1)直线与椭圆一个交点，则直线与椭圆相切。 (2)直线与双曲线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与双曲线相切;第二种是直线与双曲线的渐近线平行。 (3)直线与抛物线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与抛物线相切;第二种是直线与抛物线的对称轴平行。 (4)直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：直线与抛物线交于不同两点??>0;直线与抛物线交于一点???0 (相切)或直线平行于抛物线的对称轴; 直线与抛物线不相交???0 6、判断点与抛物线、椭圆位置关系：先把方程化为标准式，而后把点代入，若大于，线外，等于线上，小于线内。 7、在研究直线与双曲线，直线与椭圆，直线与抛物线位置关系时，若已知直线过一个点(x0,y0)时，往往设为点斜式：y?y0?k(x?x0)，但是尤其要注意讨论斜率不存在的情况!!!斜率不存在则设为x?x0. 11、用点差法解决双曲线的弦的中点问题，一定要记得把所求出的直线方程与双曲线方程联立消去y求出判别式，检验判别式如果小于0，则直线不存在!!! 1、 椭圆上的一点到椭圆焦点的最大距离为a?c，最小距离为a?c，椭圆上取得最大 距离和最小距离的点分别为椭圆长轴的两个顶点。 2、 判断过已知点的直线与抛物线一个交点直线条数： (1) 若已知点在抛物线外，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有三条：相切两条，与对称轴平行一条。 (2) 若已知点在抛物线上，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有两条：相切一条，与对称轴平行一条。 (3) 若已知点在抛物线内，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有一条：相切0条，与对称轴平行一条。 (1) 动点的轨迹方程。 3、 求点的轨迹的五个步骤： (1) 建立直角坐标系(在不知点坐标的情况下)。 (2) 设点：求什么点的轨迹就只能把该点设为(x,y),不能设为其它形式的坐标!!! (3) 根据直接法、代入法、定义法列出x和y的关系式。 (4) 化简关系式。 (5) 看看题目有没有什么限制条件，根据限制条件写出x或y 的范围!!!易错!!! 7、过椭圆内部的一个点的直线必与椭圆相交，过双曲线或抛物线内部的一个点的直线与双曲线或抛物线至少有一个交点：与双曲线的渐近线平行，一个交点;不平行，两个交点;与抛物线的对称轴平行，一个交点;不平行，两个交点。
