求函数值域的方法

求函数值域的常用方法

（1）观察法：
如 的值域可以从 入手去求.由 得 ，函数的值域为 ；
（2）图象法：
基本初等函数，或由其经简单变换所得函数，或用导数研究极值点及单调区间时，均通过画示意图、截取、观察得值域，这是值域中的重点内容。
（3）配方法与判别式法
①判别式法：
若函数 可以化为一个系数含有 的二次方程 ，
则在 时，若 则 ，从而确定函数的值域，
并检验 时对应的 的值是否在定义域内，以决定 时 的值的取舍；
②配方法：
形如 的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的值域.
（4）函数的单调性法
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，从而求出函数的值域，列如， .当利用均值不等式时，如果等号不能成立，则可考虑利用函数的单调性解题。
（5）利用函数的有界性：
形如 ， ，因为 ， 可解出 ， 的范围，从而求出其值域或最值.
（6）利用换元法化归为基本函数的值域
①代数换元：形如 ，
可设 ，转化为二次函数求值域.
②三角换元：如 ，可令 ， ， ，
（7）均值不等式法：
利用均值不等式
但要注意以下三点：
①需要同时满足“一正、二定、三相等”的条件
②熟悉常见变形： ；

③若等号取不到，可考虑函数 的单调区间.
（8）分离常数法：
形如 的函数的值域，可使用“分离常数法”求解.
（9）数形结合法
如果所给的函数由较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，
如由 可联想 与 两点连线的斜率；
（10）导数法：
如求 的值域，则可先使用导数法求其单调区间，然后再求值域.

函数的值域怎么算

求函数的值域的常用方法如下：1、图像法：根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。2、配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。3、单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。4、反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。5、换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。6、判别式法：判别式法即利用二次函数的判别式求值域。7、不等式法：利用a+b≥2√ab（其中a，b∈R+）求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。8、折叠三角代换法：利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1。直接计算麻烦，用三角代换法比较简单。做法：设a=sinx ，b=cosx，c=siny ，d=cosy，则ac+bd=sinx*siny+cosx*cosy =cos（y-x），因为我们知道cos（y-x）小于等于1，所以不等式成立。

函数值域的求法

函数求值域的方法包括配方法、常数分离法、逆求法、换元法、反函数法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、求导法。定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本"元件"。平时数学中，实行"定义域优先"的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手"硬"一手"软"，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

函数值域的求法

求函数值域的方法有配方法，常数分离法，换元法，逆求法，基本不等式法，求导法，数形结合法和判别式法等。



配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域求函数的值域，画一个简单图更能便捷直观的求值域。

常数分离：一般是对于分数形式的函数来说的。将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离求得值域。

逆求法：对于y=某x的形式可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。

换元法：对于函数的某一部分较复杂或生疏可用换元法，将其转变成我们熟悉的形式求解。

单调性：先求出函数的单调性，注意先求定义域，根据单调性再求函数的值域。

基本不等式：根据我们学过的基本不等式可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。

数形结合：可根据函数给出的式子画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。

求导法：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值就可得到值域了。

判别式法：将函数转变成某某等于零的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。