数值计算方法介绍
1、数值计算(numerical analysis)，为数学的一个分支，是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科。它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象，为计算数学的主体部分。
2、数值计算的目的是设计及分析一些计算的方式，可针对一些问题得到近似但够精确的结果。
3、在数值计算中用到迭代法的情形会比直接法要多。例如像牛顿法、二分法、雅可比法、广义最小残量方法（GMRES）及共轭梯度法等等。在计算矩阵代数中，大型的问题一般会需要用迭代法来求解。
数值计算方法
数值计算的六大方法有限元法有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。 多重网格方法多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量.具有收敛速度快,精度高等优点.有限差分方法有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限体积法有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程近似求解的误差估计方法近似求解的误差估计方法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。多尺度计算方法近年来发展的多尺度计算方法包括均匀化方法、非均匀化多尺度方法、以及小波数值均匀化方法、多尺度有限体积法、多尺度有限元法等。
水平层状介质的正演理论
设平面电磁波垂直入射空气-大地分界面，水平层状介质的层厚度和电阻率分别为hm和ρm，每一层波数为km，m为层序，m=1，2，3，…，n(图4.2.5)。图4.2.5 水平层状介质与坐标为简便起见，不妨设垂直入射(沿z方向入射)的平面电磁波初始电场沿x方向极化，磁场沿y方向极化。根据平面电磁波的特点和相应的边界条件，场的振幅在极化平面(平行于XOY面)上没有变化，即电法勘探电场只有x方向分量E=Exex，磁场只有y方向分量H=Hyey，且E×H→k(kez)。任一层介质中，电场满足的波动方程为电法勘探式中：km为第m层的波数，km= 。根据式(4.1.73)和式(4.1.71)右边第三式可得电法勘探电法勘探这里积分常数am和bm也是针对第m层而言的，即层状介质中各层有不同的电阻率、复波数和积分常数。积分常数am和bm必须根据边界条件来确定。根据波的传播和衰减特性，可以把表达式(4.2.2)和(4.2.3)看作是由入射波和反射波两部分所组成Exm=+Exm+-ExmHxm=+Hxm+-Hxm式中：+Exm=ame-kmz；-Exm=bmekmz；+Hym=-ikωmμame-kmz；-Hym= bmekmz。由于图4.2.5中最底部的第n层为半无限厚(hn→∞)，该层中当z→∞时，有Ex→0和Hy→0，要求相应的积分常数bn≡0。从物理上看，电磁波由第n层的顶界面进入第n层时，相当于在均匀无限介质中传播，因此不存在反射波，故bn=0。此时，第n层的波阻抗Zn等于该层介质的本征阻抗(记为Z0n)电法勘探但是，由于其余各层(m＜n)的厚度都是有限的，不存在无穷远的边界条件，相应的积分常数am和bm都不为零，既有正向波，又有反向波。正向波和反向波均为多个反射、折射波之叠加。入射波或反射波都是单向行波，它们也好像在无限匀介质中传播一样，各自的波阻抗是第m层介质的本征阻抗电法勘探其中负号(-)表示反射波是沿反方向传播的。第m层介质总波阻抗Zm为电法勘探显然，第m层介质的总波阻抗并不等于该层的本征阻抗。另外，我们又把分界面上的波阻抗称为面阻抗，如用 表示第m层介质顶面阻抗、Zm表示第m层介质底面阻抗。对二层大地介质模型，当m=1时，由式(4.2.6)可得电法勘探于是可得电法勘探在同一层内，积分常数相等。因此，若已知第1层的底面波阻抗Z1(h1)= 和本征阻抗Z01，那么就可以根据式(4.2.8)计算出该层的积分常数a1和b1的比值，并代入式(4.2.7)可得到该层顶面波阻抗。当z=h1时，Z1(h1)=Z1，于是电法勘探又由于界面上的电场和磁场切向分量连续，因此波阻抗也连续，即第一层的底面阻抗等于第二层顶面阻抗，Z1= 。于是式(4.2.9)又可写成电法勘探对式(4.2.7)，当z=0时，可得第1层的顶面阻抗 电法勘探将式(4.2.10)代入式(4.2.11)，并经过适当推导，得到电法勘探从式(4.2.12)可知，由第二层顶面阻抗可以推算出第一层的顶面阻抗。同样，由第三层顶面阻抗可以推算第二层顶面阻抗电法勘探对n层大地，一般地，有电法勘探于是，层状大地地面波阻抗可以通过以下递推公式求得电法勘探递推计算从最底部第n层开始，向上递推。当令m+1=n时，有 =Z0n，通过上式即可求得第n-1层顶面波阻抗，如此重复，当m=1时，则可求出地面的波阻抗。从式(4.2.12)和式(4.2.13)可以看出，第一层底面(即第二层顶面)阻抗( = )，与整个第一层的介质无关，只与第二层介质有关。这个结论在海上大地电磁方法中具有特殊意义。海上大地电磁方法是在海底进行观测，因而得到的阻抗值只与海底以下的电性有关，而与海水层的电性及厚度无关。由于海水具有好的导电性能，所以当电磁波从海水面传到海底时，其能量大部分被海水吸收，其强度有很大的衰减，尤其是高频部分衰减得更快。因此，与陆地相比，海洋MT所能利用的频带受到很大的限制，主要是低频成分占优势。目前海洋MT 工作主要用于研究几百千米深的岩石圈和软流圈，它是迄今为止研究30km以下海底电性结构的唯一方法。经过适当的变换，式(4.2.14)还可写成以下形式：电法勘探定义变换函数(或称归一阻抗)电法勘探对于无磁性介质μm=μ0(m=1，2，…，n)，有电法勘探考虑到 =Z0m+1Rm+1，于是式(4.2.16)可写为如下形式：电法勘探已知恒等式th(x+arthy)=cth(x+arcthy)可将式(4.2.17)写为电法勘探式中对双曲正切和双曲余切的选取，取决于函数的定义域。对均匀大地，式(4.2.12)中的h1→∞，此时th(k1h1)=1，因此电法勘探式中： = 。由此可得电法勘探式(4.2.19)是在均匀大地情况下得出的。当地下为水平层状介质时，按式(4.2.19)计算的结果应为视电阻率，以ρT表示，且应改写成以下形式：电法勘探按这种方法确定的视电阻率称为卡尼亚视电阻率，是为了纪念大地电磁法的奠基者、法国地球物理学者而得名。为了理论计算方便，将式(4.2.20)除以式(4.2.19)，则电法勘探R1也称为频率特性函数，记为R1(ω)。当相对高频时，R1(ω)与底层上部介质电性有关；当频较低时，它与更深层位介质电性有关。ρT也是复函数，其复数性质与E和H的相位移有关。在一般情况下，式(4.2.21)或写为电法勘探式中：φT称为视电阻率相位。由式(4.2.20)和式(4.2.21)可知电法勘探则电法勘探由平面电磁波在均匀各向同性无限介质中传播，可导出波数 =2π /λ1，于是电法勘探式中：μ2= ；v2= 。考虑到hn→∞时，Rn=th(∞)→1，故可将n层介质视电阻率公式(4.2.22)按式(4.2.18)的形式重写为电法勘探式中：若ρn/ρn-1＜1取th函数；若ρn/ρn-1＞1取cth函数。分析ρT理论曲线时常常采用ρT上述表达形式。
