2011年的华约自主招生数学试题
2011年自主招生华约数学试题解析
一、选择题
(1) 设复数z满足|z|<1且 则|z| = ( )
解：由 得 ，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍去）， 。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为 。则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )
[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为 得高为 。如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0， )，则 ， 。设所成的角为θ，则 。
解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为 得高为 。平移DM与AN在一起。即M移到N，D移到CD的中点Q。于是QN = DM = AN。而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN = ，而AQ = ，容易算出等腰ΔAQN的顶角 。
解法三：也可以平移AN与DM在一起。即A移到M，N移到PN的中点Q。以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( )
此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)若 的最小值和最大值分别为 ( )
[分析]首先尽可能化简结论中的表达式 ，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
解：
，可见答案是B
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O1 O2边O1 O2上一点C，O O1、O O2延长线上分别一点A、B，使得O1A = O1C，O2B = O2C。
解法一：连接 ，C在 上，则 ， ， ，故
，
， 。
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则 ，
，
， 。
(6) 已知异面直线a，b成60°角。A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面 ( )
A有且只有一个 B有且只有两个 C有且只有三个 D有且只有四个
[分析]已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线。答案是4个。
(7) 已知向量 则 的最小值为( )
解：由 得
由于 ，可以用换元法的思想，看成关于x，y + z，y - z三个变量，变形 ，代入
，答案B
(8)AB为过抛物线y2 = 4x焦点F的弦，O为坐标原点，且 ，C为抛物线准线与x轴的交点，则 的正切值为 ( )
解法一：焦点F（1，0），C（-1，0），AB方程y = x – 1，与抛物线方程y2 = 4x联立，解得 ，于是
， ，答案A
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD = 45°，EF∥DA，EF = 2，AF = AD，BF = BC，求∠AEB。
。类似的，有
， ，
，答案A
解： ， ，
，于是 。将 ，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须 ，于是 ，解这个一元函数的极值问题， 时取极大值 。
(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角。事实上，∠D ≥ ∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B，所以∠D为钝角。这样就排除了B，C。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ΔACD，则∠D = 180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。
二、解答题
解：（I） ，整理得
（II）由已知 ，与（I）比较知 。又 ， ， ，而 ，
，代入得 ，
， ，
（12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。
（I）若b = 3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；
（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
解：不妨设水杯高为1。
（I）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为 ，水的重心位置为 ，所以装入半杯水的水杯的重心位置为
(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x。水杯的重心位置为 ，水的重心位置为 ，水面位置为 ，于是 ，解得
（13）已知函数 。令 。
(I)求数列 的通项公式；
(II)证明 。
解：由
(I)先求出 ，猜想 。用数学归纳法证明。当n = 1显然成立；假设n = k显然成立，即 ，则 ，得证。
(II) 我们证明 。事实上，
。我们注意到
，于是
（14）已知双曲线 分别为C的左右焦点。P为C右支上一点，且使 。
（I）求C的离心率e ；
(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得 恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F1 F2中， ，E为PF1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，F1 F2 = 2c，求 。
设PE = PF2 = EF2 = x，F F2 = ，
， ， 。
ΔE F1 F2为等腰三角形， ，于是 ， 。
(II)
（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。
（I）求p1，p2，p3，p4；
(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
华约自主招生
可以的，但是你自荐人大只能选择人大作为第二志愿，如果选择南大为第二志愿，等于放弃了南大的校荐资格
自主招生六大特别提醒
1、自荐VS校荐
申请方式分为“校荐”和“自荐”两种。
绝大多数院校同时接受“校荐”和“自荐”。但有少数院校只接受校荐，以2010年的招生简章来看，就有中央财经大学、同济大学、北大医学部等。而中国人民大学更加特殊，指出有“校荐”资格的考生可以任意选择学校提供的专业，但是“自荐”的考生只能在物理学、化学、人文科学实验班(国学)、中国革命史与中国******党史、美术学专业等5个专业中选择。
据统计，以“校荐”资格申请自主招生获得通过海选的比例远大于以“自荐”方式，“校荐”几乎95%能通过院校的海选，而以“自荐”方式通过海选的比例不超过20%，因此有实力拿到“校荐”资格的考生要尽量争取拿到心仪院校的“校荐”。需要指出的是，“校荐”并不是学校在推荐信上盖了章就算是学校推荐，因为所有考生申请的材料都必须经过中学盖章，只有拿到中学的推荐名额才算是学校的校荐。
附：
2011年“华约”院校自主招生报名人数录取人数情况
2011年，清华大学、上海交大、中科大、南京大学、浙江大学、西安交大、中国人民大学这七所在自主选拔工作中展开合作，共同举办“高水平大学自主选拔学业能力测试”简称“AAA”测试，这七所院校组成的联盟俗称“华约”。
2011年，全国共有10万余名学生报考，6万余人获得初试资格。
招录情况
清华大学 2011年，有超过1万名考生报名，5000人获得笔试资格，1000余人入围面试，最终1300余人获得自主选拔资格。
上海交大 2011年，有超过3万人报名，1.8万余人获得笔试资格。最终有760余人获得自主选拔资格。
中国科技大 2011年，有超过1万人报名考生获得笔试资格，最终有310余人获得自主选拔资格。
南京大学 2011年有2万余人报名，6000余人获得笔试资格，最终600余人获得自主选拔资格。
浙江大学 2011年有1.3万余人报名，1000余人获得面试资格，最终790余人获得自主选拔资格。
西安交大 2011年有1万余人报名，1200人获得面试资格，最终700余人获得自主选拔资格。
中国人大 2011年，有接近2万人报名，4500余人获得笔试资格，1400余人获得面试资格，最终有780余人获得自主选拔资格。
以上表格上来得出以下结论：
1.自主招生过关率保持在5%——8%左右。
2.很多院校学生报名人数不断增加，并且获得自主选拔资格的人数不断增加，这对裸分考试的学生来说挑战性越来越强。
2、如何选择目标学校
案例：考生晨晨在自主招生中拿到了外经贸20分的加分，而经过了几个月的学习，成绩具备了冲击人民大学的实力，这时报考外经贸将万无一失，而放弃人大又心有不甘，于是左右为难。
建议考生和家长根据自己的实际情况来制定，既不能好高骛远，也不能太过保守。具体操作时，可以选择2所目标院校，一所是与考生平时实力相当的院校;另一所略高于考生的平日实力，并且通过努力是完全能够得着的院校。
3、如何准备申请材料
申请材料一般包括申请表(报名表)、个人陈述、推荐资料及附属材料。
(1)申请材料所覆盖的内容一般有：
①成绩
有的高校需要很详细的从高一至高三期中和期末的成绩以及年级排名;
②竞赛奖项
只要在高中阶段获奖的都可以为自主招生初审通过增加筹码;
③作品
好的作品将是申请材料的亮点;如果没有什么作品的话，也可以谈谈自己的一些独特见解，如对教育公平等热点话题的看法等;
④特长
如果有特长一定要写上，如竹笛9级，钢琴9级等。清华大学就非常看重有桥牌、象棋、国际象棋、围棋等特长的学生;
⑤志向或大学四年规划
比如北大要求阐述为什么要报考北大;清华要求写出自己的求学之路等。
(2)注意事项：
① 重点填写高中阶段的表现。对于初中、小学阶段的内容，一般不必填写。
② 加盖学校公章，而不能仅盖学校教务处等部门公章。
③ 个人自述及推荐意见的篇幅均以1页为宜，一般不超过2页。
④ 附属材料只要把高中阶段能够反映自己成绩的材料附上即可。
⑤ 本着节约原则，建议以黑白印制申请材料。
4、如何写一篇优秀的自荐信
(1)个人陈述一定要务实，这也是写个人陈述最重要的一点。类似于“我是个德智体全面发展的学生”、“我乐于助人”、“我相信功夫不负有心人”这样的话很空洞，任何人都可以说，就体现不出一个人的闪光点。 如果想要体现自己某一方面的能力，一定不能泛泛而谈，尽可能举例说明。如果参加过社会工作，如志愿者等，都可以写出来。写作时要实事求是、条理清晰地书写，不要用花哨的语言对自己大加赞扬，语言要朴实、诚恳、实事求是。作假是大忌。
(2)个人陈述要分清主次，有所强调。每个申请自主招生考试的学生应该都是很优秀的，都有着丰富、骄人的经历，但是这些经历不可能都写进去，因此就要有所强调，突出自己身上最重要同时也是招生老师最欣赏的能力，去强调那些能够体现这些能力的经历。
(3)突出自己的个性。现在的高中毕业生都是90后的学生，有活力、有梦想，视野开阔，性格张扬。在申请材料中老师同样希望看到时代赋予他们这些青春活力的内涵。
(4)了解申请院校的文化内涵和性格特点。越好的高校越注重考生的秉性与学校文化氛围的匹配。既然是自主招生，高校更愿意选择这样的学生，而且这样的方式更适合于高校未来发展趋势。
5、如何准备笔试
自主招生考试的笔试要比高考(论坛)题难，比各类竞赛题容易。由于考试时间在一轮考试之后，因此考生只要在学校跟着老师扎扎实实地做好一轮复习即可，此外，可以对热点话题有所了解，以此来开阔视野，也不至于在评述时无话可说。
6、如何准备面试
自主招生的面试题目灵活多变，不可预测。准备时不必在话题方面花费太多精力。而要在心态、思维、语言表达、礼仪等方面进行准备。
首先，要尽可能让自己保持一个轻松平和的心态。
其次，多设想一下面试时遭遇突发状况要如何应对。如出现冷场的情况怎么办?拿到的话题无话可说怎么办?自己在语言表达方面存在哪些问题?
另外，礼仪是我们容易忽略的一个方面。比如面带微笑、认真倾听别人的话、不要气势太剩地抢话等都是我们需要注意的。
7、特别提醒
考生在自主招生考试过程中容易出现以下几个问题，需要我们注意：
(1)因准备自主招生考试，而耽误了正常的学习;
(2)没有通过自主招生考试，或没有拿到最高级别的加分，感到心情失落;
(3)拿到自主招生加分，过于自满，放松了学习，结果大意失荆州
2011年“华约”院校自主招生报名人数录取人数情况
2011年，清华大学、上海交大、中科大、南京大学、浙江大学、西安交大、中国人民大学这七所在自主选拔工作中展开合作，共同举办“高水平大学自主选拔学业能力测试”简称“AAA”测试，这七所院校组成的联盟俗称“华约”。
2011年，全国共有10万余名学生报考，6万余人获得初试资格。人数较多的考点：江苏南京考点6000人，杭州考点5700人，上海考点4300人，北京考点3700人，合肥考点3400人，西安考点3000人，武汉考点2900人，成都考点2700人，郑州考点2600人，济南考点2500人，长沙考点2100人，广州考点2100人。
联考测试科目：阅读与写作（测试时间3小时，满分200分），其中中文阅读与写作占100分，英文阅读与写作以及中英文综合应用占100分。数学（测试时间1.5小时，满分100分）；自然科学（测试时间1.5小时，满分100分）其中物理占70分，化学占30分。人文与社会（测试时间1.5小时，满分100分）历史占40分，政治和地理各占30分。
招录情况
清华大学 2011年，有超过1万名考生报名，5000人获得笔试资格，1000余人入围面试，与上年保持基本稳定，最终1300余人获得自主选拔资格，其中人数较多省份为：北京216人，江苏101，上海95人，浙江88人，湖北87人。
上海交大 2011年，有超过3万人报名其中上海近6000人，1.8万余人获得笔试资格，其中上海约4000人。最终有760余人获得自主选拔资格，其中人数较多的省份为：上海158人，北京69人，湖北60人。此外江浙沪自主 选拔录取改革试验计划共录取750余人，其中上海545人，江苏107人，浙江114人。
中国科技大 2011年，有超过1万人报名考生获得笔试资格，人数较去年增长50%以上，最终有310余人获得自主选拔资格，其中人数较多的省份为：湖北41人，安徽40人，江苏35人，北京：25人。
南京大学 2011年有2万余人报名，6000余人获得笔试资格，最终600余人获得自主选拔资格（其中江苏293人），北京19人。
浙江大学 2011年有1.3万余人（其中浙江3000余人）报名，1000余人获得面试资格，其中浙江150人。最终790余人获得自主选拔资格，其中浙江128人，北京43人。
西安交大 2011年有1万余人报名，1200人获得面试资格，最终700余人获得自主选拔资格，其中河北165人，江苏103人，湖北87人，河南67人，辽宁56人。北京9人。
中国人大 2011年，有接近2万人报名，较去年增长100%，4500余人获得笔试资格，是上年的4倍，1400余人获得面试资格，最终有780余人获得自主选拔资格，其中人数较多的省份为：北京154人，辽宁77人，湖北59人，山东50人，河北50人。
由此可得出以下结论：
1.自主招生过关率保持在5%—8%左右。
2.很多院校学生报名人数不断增加，并且获得自主选拔资格的人数不断增加，这对裸分考试的学生来说挑战性越来越强。
关于自主招生北约华约的问题！！
北约：北京大学、北京航空航天大学、北京师范大学、香港大学、复旦大学、南开大学、厦门大学、武汉大学、四川大学、山东大学、兰州大学、中山大学、华中科技大学华约：清华大学、中国人民大学、上海交通大学、中国科学技术大学、西安交通大学、浙江大学、南京大学卓越：北京理工大学、重庆大学、大连理工大学、东南大学、哈尔滨工业大学、华南理工大学、天津大学、同济大学、西北工业大学京都：北京科技大学、北京交通大学、北京邮电大学、北京林业大学、北京化工大学现在你可以先写自荐信，开学让老师帮你改改，这样时间比较充裕。如果等着自主招生开始才去写，显得很忙乱。想好想去哪个学校，看看2011年该校自主招生简章需要什么材料，可以提前准备。但是，具体要看2012年的，可能有出入。不用去探讨自主招生试题，没有用的，实在不放心可以做一套，像百度文库就有去年自主招生卓越的数学题目，当然，你可能得不到很高的分数，但是别灰心。去年我考试的时候好多不会做的，结果我的分数也不低的……试题可以说没什么规律，做多了意义也不大，只是浪费你高三的学习。试题方面没什么好准备的，你做不到原题的，相似题目也很少。面试你倒是可以准备下，写写自我介绍，突出亮点，对着镜子练练等等。还有就是不要怯场，大胆发挥，应变快点，没什么问题的。可以适当看看今年热门新闻，可能会出现。当然，一切准备以不影响你高三学习为主~另外，自主招生不一定去年那么多学校联考，今年还是一成不变的。最近变数很大的。我是去年卓越考生，不懂可以追问~祝好运
报名参加北约华约的自主招生的条件是什么？
可以申请 初审容易通过，关键是考试成绩 后面还有面试。
大学自主招生简章一般11月公布，12月报名，通过初审的2月考试，成绩符合要求的会参加面试。
高校自主招生评价标准的相似点
一、所在中学要求
属于普通中学学生的机会不多，根据高校对中学的要求，可预估自己获得自主招生资格的可能性
在目前的教育体制下，每所中学的师资力量、办学条件还是相差较大的，因此，一个学生在哪一所学校求学，是省重点、地区重点，还是一般学校，一定程度决定外界对你的整体素质的评价。由于自主招生高校都是一本院校，因此参加这些高校自主招生的学生主要集中在省重点和地区重点中学。属于普通中学学生的机会不多，这是现在的客观现实。
自主招生高校对学生所在中学的要求表现在两方面：一是有的学校实行学校推荐制或中学校长实名推荐制，目前这些学校只把推荐名额给一些好的中学；二是有的高校对申请者实行筛选，会对学校层次和学生成绩排名提出建议要求等。根据高校的这种要求，同学们也可评估自己参加自主招生获得自主招生资格的可能性。
二、学业成绩要求
在自主招生体系里，学习成绩很重要，不要误以为高校要招“偏才”和“怪才”
有同学问，自主招生还要看学习成绩吗？你们不是要“偏才”和“怪才”吗？这其实是一个误解。
高校在自主招生时，通常会要求学生提供中学平时成绩，包括高一、高二重要考试的成绩，不仅有绝对分数，还要有你在这个班级或者整个年级里的排名，因为这样的排名可以反映你的学习能力。
大学会以学生的排名来看他的学习能力是否达到学校的基本要求。比如，有的大学提出，申请者最好是市示范性高中的前50名，区重点的前20名，普通中学的前3名等。在学校审阅学生的材料时，会根据这所学校的总体情况和学生的成绩排名，考察学生的学业。比如，如果某所中学往年考进某大学的学生，学业成绩位列这所中校的前50%，那么，大学在筛选学生时，就可能会参照这一标准，成绩在这所中学50%左右者，入围这所大学的笔试的希望就很大。
三、竞赛获奖要求
竞赛又分为两类。一类是硬性竞赛，也可称为学科竞赛。很多高校的自主招生都向学生提出了五大类学科竞赛成绩的要求。所谓五大类学科竞赛，就是数学、物理、化学、信息科学、生物科学的全国竞赛。这与教育部对保送生资格界定所要求的学科竞赛成绩一致，只是高校的要求相对低一些，比如获得全国三等奖以上或者省市的二、三等奖。
另一类是软性竞赛，也可称为非学科综合能力竞赛，比如创新大赛、创业大赛、才艺竞赛、辩论赛、演讲赛、技能大赛等。这些竞赛可以反映出一名同学的综合素质情况，也受到高校的重视。
2011年“华约”院校自主招生报名人数录取人数情况
2011年，清华大学、上海交大、中科大、南京大学、浙江大学、西安交大、中国人民大学这七所在自主选拔工作中展开合作，共同举办“高水平大学自主选拔学业能力测试”简称“AAA”测试，这七所院校组成的联盟俗称“华约”。
2011年，全国共有10万余名学生报考，6万余人获得初试资格。人数较多的考点：江苏南京考点6000人，杭州考点5700人，上海考点4300人，北京考点3700人，合肥考点3400人，西安考点3000人，武汉考点2900人，成都考点2700人，郑州考点2600人，济南考点2500人，长沙考点2100人，广州考点2100人。
联考测试科目：阅读与写作（测试时间3小时，满分200分），其中中文阅读与写作占100分，英文阅读与写作以及中英文综合应用占100分。数学（测试时间1.5小时，满分100分）；自然科学（测试时间1.5小时，满分100分）其中物理占70分，化学占30分。人文与社会（测试时间1.5小时，满分100分）历史占40分，政治和地理各占30分。
招录情况
清华大学 2011年，有超过1万名考生报名，5000人获得笔试资格，1000余人入围面试，与上年保持基本稳定，最终1300余人获得自主选拔资格，其中人数较多省份为：北京216人，江苏101，上海95人，浙江88人，湖北87人。
上海交大 2011年，有超过3万人报名其中上海近6000人，1.8万余人获得笔试资格，其中上海约4000人。最终有760余人获得自主选拔资格，其中人数较多的省份为：上海158人，北京69人，湖北60人。此外江浙沪自主 选拔录取改革试验计划共录取750余人，其中上海545人，江苏107人，浙江114人。
中国科技大 2011年，有超过1万人报名考生获得笔试资格，人数较去年增长50%以上，最终有310余人获得自主选拔资格，其中人数较多的省份为：湖北41人，安徽40人，江苏35人，北京：25人。
南京大学 2011年有2万余人报名，6000余人获得笔试资格，最终600余人获得自主选拔资格（其中江苏293人），北京19人。
浙江大学 2011年有1.3万余人（其中浙江3000余人）报名，1000余人获得面试资格，其中浙江150人。最终790余人获得自主选拔资格，其中浙江128人，北京43人。
西安交大 2011年有1万余人报名，1200人获得面试资格，最终700余人获得自主选拔资格，其中河北165人，江苏103人，湖北87人，河南67人，辽宁56人。北京9人。
中国人大 2011年，有接近2万人报名，较去年增长100%，4500余人获得笔试资格，是上年的4倍，1400余人获得面试资格，最终有780余人获得自主选拔资格，其中人数较多的省份为：北京154人，辽宁77人，湖北59人，山东50人，河北50人。
由此可得出以下结论：
1.自主招生过关率保持在5%—8%左右。
2.很多院校学生报名人数不断增加，并且获得自主选拔资格的人数不断增加，这对裸分考试的学生来说挑战性越来越强。
